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打魚民族學(xué)校

教學(xué)教研課題研討

六年級數(shù)學(xué)廣角:“1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +...+(1/2)^n=1”的探討

發(fā)布時間:2023-12-24 21:50 欄目:課題研討 發(fā)布單位:三都水族自治縣都江鎮(zhèn) 點擊量:268 【公開】

如果依照先賢說過的話:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,那么,如果一板一眼老實的執(zhí)行,是取不到的。

但是,(1/2+1/4+1/8+...+1/2^n)+1/2^n≡1,但n→∞時,其中(1/2+1/4+1/8+...+1/2^n)→1,(1/2^n)→0,人們忽略這個無窮小量(1/2^n),認(rèn)為(1/2+1/4+1/8+...+1/2^n)=1,并說這個等號是建立于極限意義上取等號?;蛘哒f,在思維上實現(xiàn)了這個無窮小量(1/2^n)的跨越。

到了后來,人們覺得,這個無窮小量的跨越是很正常的,是約定俗成的,將這個建立于極限意義上取等號與常規(guī)運算時的取等同視為同一,就說,是等于1。此時發(fā)生了爭議,比如有個人名叫A,拒絕接受反駁,當(dāng)另有人比如名叫B的人要說相差一個無窮小,A說,B呀,我跟你急,你把這個無窮小拿出來給我看?可是B拿不出手呀,在(這里舉例的有限次的)加法(加減法)里面,這個無窮小也起不到副作用,然后B只好拿出除法(或乘法)的例子來:

(1/2^n)/(1-(1/2+1/4+1/8+...+1/2^n)),當(dāng)n→∞時,取值為1

這時,不能說(1/2+1/4+1/8+...+1/2^n)=1,否則分母變成0了。

于是A、B不爭了,說,在做加法(加減法)時,無窮小可能沒有副作用,比如在這個題目里面,估且認(rèn)為二者相等。

在做乘法(乘除法)時,無窮小可能出現(xiàn)副作用,可能不允許認(rèn)為二者相等。

但是目前就是在做加法,B爭不過A,只好對A說,好吧,你對,你對,相等就相等,反正無窮小我拿不出來。

然后A也讓一步,對B說,你說的也有道理,換個地方,那個無窮小雖然你拿不出手,但還是有作用有影響的,所以在這我對,但是也可以承認(rèn)你對,你是把局部的正確放到廣闊的不正確里面,你想的更多更遠(yuǎn),適應(yīng)范圍更廣一些,我也不能說不讓你想了更全面呀。

所以,是與非其實是包容關(guān)系,是,著眼于一個點成立;非,著眼于一條線成立,是,包含于非。知其是,知其非,不執(zhí)著于是與非,不起爭執(zhí),無有苦惱。皆大歡喜,互相禮讓,承認(rèn)對方合理之處,不管是一個點,一條線,只是方向、立場不同;每個人都立足之處,互讓忍讓、允許他人立足,建議不必要讓人無處立足。

譬如人們觀察一根細(xì)鉛筆,A看著鉛尾的尾巴,說是一個圓點,對。B看它的外觀形狀,說是一條線。其實還有人看它的厚度,看他的色彩;還有人用儀器,透視它的質(zhì)地,它的內(nèi)部結(jié)構(gòu),此外,還有我們不知道的、未知的維度。

轉(zhuǎn)換角度、程度、立場、方式,看法不一樣。善于轉(zhuǎn)換,不執(zhí)著己見,承認(rèn)他人合理之處,哪怕只有一點。和合爭議,把握共性,也允許異見的存在,如此,不必爭議,沒有煩惱。

那么有人說這樣就沒有正確沒有錯誤混淆了混濫了?其實只是在于把事情弄清楚弄明白,而不是在于論誰是誰非;在于求同存異。譬如我賣矛我也賣盾,都可以是上等的矛和盾,互相匹配勢均力敵,而不必要將我的矛和盾打起仗來,矛尖擠鈍了,盾擠了一個坑,各有損壞,兩敗俱傷。矛尖一個點,盾面一個面,用矛尖在盾面上刻個吉祥,不必將盾刺破;盾若不讓矛,刻字也不讓,彈性好,刻的凹陷自動復(fù)原,也沒啥損傷。買我矛的人,不一定能刺破所有的盾;買我盾的人,不一定能防住所有的矛;知其足,知其不足,同時擁有矛和盾,攻守兼?zhèn)涠掠谄胶?、和合、和平共處,而不是為了打仗互傷?/span>



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